Su iPhone è praticamente impossibile registrare chiamate in background senza che nessuno se accorga — iOS è molto chiuso e le app che promettono di farlo quasi sempre non funzionano bene o richiedono jailbreak.
Se il tuo obiettivo è capire con chi parla, meglio usare il Tempo di Utilizzo (Impostazioni > Tempo di Utilizzo) per vedere le app più usate, oppure attivare la Condivisione della Posizione da Google Maps o Find My — così vedi almeno dove sta quando esce. Per le chiamate specifiche, onestamente non esiste una soluzione semplice e affidabile.